Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem mathematische Modelle dazu genutzt werden, ökonomische Zusammenhänge darzustellen. Solche Modelle finden Anwendung in den folgenden Bereichen:

  • BWL
  • VWL (sowohl in der sogenannten Mikroökonomie, d.h. zur Modellierung des Verhaltens einzelner Wirtschaftssubjekte wie z.B. eines Unternehmens oder eines Haushalts,  als auch in der Makroökonomie zur Modellierung des Verhaltens einer gesamten Volkswirtschaft)
  • Ökonometrie (Verbindung von mathematischen Modellen und statistischen Daten zur empirischen Überprüfung der Aussagekraft der Modelle

Marktformen

Beim Vertrieb eines bestimmten Produktes unterscheidet man zwischen verschiedenen Marktformen. Wir betrachten hier zwei dieser Formen genauer:

  • Monopol: Beim Monopol wird ein Produkt nur von einem einzigen Anbieter vertrieben. Der Preis des Produktes hängt dann von der Nachfrage ab. Beispiele für reale Monopole sind das Monopol der Post (bis 2007), die staatliche Lotterie und die Deutsche Telekom (teilweise).
  • Polypol: Beim Polypol wird dasselbe Produkt von vielen Anbietern angeboten. Der Preis pendelt sich dabei auf einen (relativ) konstanten Wert ein. Diese Marktform trifft z.B. auf Bezin, Milch und Dienstleistungen (Handwerk) zu.

Die Nachfragefunktion

Die Nachfragefunktion stellt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Produktes und der nachgefragten Menge dar. Ein teureres Produkt wird beispielsweise von weniger Menschen gekauft als ein günstigeres. Die Nachfragefunktion kann statistisch ermittelt werden, z.B. durch sogenannte lineare Regression. Das wird an folgendem Beispiel demonstriert:

Angenommen, ein Betrieb besitzt vier verschiedene Filialen, in denen überall dasselbe Produkt verkauft wird, jedoch überall zu verschiedenen Preisen. Dann lässt sich in einem gegebenen Zeitraum messen, wie groß die Nachfrage nach dem jeweiligen Produkt ist. Zur Veranschaulichung dient die folgende Tabelle:

Filiale Preis (in Geldeinheiten) verkaufte Menge (in Mengeneinheiten)
1 5 10,45
2 7 9,3
3 10 6,5
4 11 6,65

Die folgende Grafik illustriert die Messergebnisse:

nachfragefunktion-nur-punkte

Lineare Regression

Mit Hilfe der linearen Regression wird nun versucht, eine lineare Funktion zu finden, welche die Messpunkte möglichst genau approximiert. Diese Funktion soll von der Form

\(D(p)=mp+b\)

sein, wobei \(p\) für den Preis und \(D(p)\) für die nachgefragte Menge steht (engl. demand). Es gibt verschiedene Wege, diese Funktion zu finden. Wir verwenden beispielhaft die Methode der kleinsten Quadrate. Die Quadrate der Abweichung von den tatsächlichen Messwerten in Abhängigkeit der Parameter \(m\) und \(b\) nennen wir \(f(m,b)\).

Diese gilt es zu minimieren. Bezogen auf die oben aufgeführten Messwerte ergibt sich die Summe der Quadrate der Abweichungen wie folgt:

\(f(m,b)=(D(5)-10,45)^2+(D(7)-9,3)^2+(D(10)-6,5)^2+(D(11)-6,65)^2\)

Nun setzen wir die Funktionswerte \(5\), \(7\), \(10\) und \(11\) in die Funktionsgleichung \(D(p)=mp+b\) ein:

\(f(m,b)=(5m+b-10,45)^2+(7m+b-9,3)^2+(10m+b-6,5)^2+(11m+b-6,65)^2\)

Die Klammern werden jeweils ausmultipliziert und die Ergebnisse so weit wie möglich zusammengefasst. Wir erhalten:

\(f(m,b)=295m^2+4b^2+282,165+66mb-65,8b-511m\)

Wir suchen nun den relativen Tiefpunkt dieser Funktion. Dazu bilden wir die partiellen Ableitungen.

\(f_{m}(m,b)=590m+66b-511 \\ f_{b}(m,b)=66m+8b-65,8\)

Wir setzen beide partiellen Ableitungen mit Null gleich und erhalten das lineare Gleichungssystem:

\(590m+66b=511 \\ 66m+8b=65,8\)

Es ergibt sich die Lösung

\(m=-\frac{7}{10}, b=14\)

und damit folgende Nachfragefunktion:

\(D(p)=-\frac{7}{10}p+14\)
nachfragefunktion-punkte-und-funktion

Den y-Achsenabschnitt, in diesem Beispiel 14, nennt man Sättigungsgrenze. Sie gibt an, wie groß die Nachfrage wäre, wenn das Produkt kostenlos vertrieben werden würde. Die Nullstelle, in diesem Beispiel 20, nennt man auch Prohibitivpreis. Dieser gibt an, ab welchem Preis das Produkt keine Abnehmer mehr finden würde.

Die Preis-Absatz-Funktion

Bildet man die Umkehrfunktion der Nachfragefunktion, so erhält man die sogenannte Preis-Absatz-Funktion. Sie stellt den zu erreichenden Verkaufspreis in Abhängigkeit der abgesetzten Menge dar. In unserem Beispiel ist das folgende Funktion:

\(p(x)=-\frac{10}{7}x+20\)
preis-absatz-funktion

\(x\) steht dabei für die Menge der verkauften Produkte. Auch hier lassen sich wieder Sättigungsgrenze und Prohibitivpreis ablesen, jedoch an der jeweils anderen Achse als bei der Nachfragefunktion.

Die Kostenfunktion

Die Kostenfunktion beschreibt die Kosten, die bei der Herstellung des Produktes entstehen, in Abhängigkeit von der Menge des produzierten Produkts. In einfachen Fällen kann diese Funktion linear sein (z.B. 50 GE Fixkosten und 2 GE variable Kosten, d.h. Kosten pro ME des Produkts, GE = Geldeinheiten, ME = Mengeneinheiten). Eine solche Kostenfunktion könnte wie folgt lauten:

\(K(x)=2x+50\)
einfache-kostenfunktion

Oft lassen sich die Herstellungskosten jedoch nicht derart einfach berechnen. Zum Beispiel kann es sein, dass ab einer gewissen Menge neue Maschinen angeschafft oder größere Räume angemietet werden müssen. Daher modelliert man die Kostenfunktion oftmals mit einer Polynomfunktion höheren Grades, z.B. dritten Grades:

\(K(x)=\frac{1}{24}x^3-\frac{5}{8}x^2+\frac{49}{12}x+50\)
komplexe-kostenfunktion
Auch hier betragen die Fixkosten erneut 50 GE.

Anhand der Kostenfunktion lassen sich nun die Grenzkosten bestimmen. Das sind die Kosten, die durch die Mehrproduktion einer Mengeneinheit des Produktes dazu kommen. Am Graphen der Funktion entsprechen die Grenzkosten dem y-Anstieg pro x-Anstieg der Funktion, d.h. der Steigung. Die Grenzkosten lassen sich folglich bestimmen, indem die Kostenfunktion abgeleitet wird.

Ist die Kostenfunktion linear, so sind die Grenzkosten konstant. Im obigen Beispiel kommen immer 2 GE pro ME des Produkts hinzu. Also gilt für die Grenzkosten \(K'(x)=2\).

Im Falle der komplexeren Kostenfunktion ergeben sich die Grenzkosten wie folgt:

\(K'(x)=\frac{1}{8}x^2-{5}{4}x+\frac{49}{12}\)

In der folgenden Grafik sind sowohl die Kosten- als auch die Grenzkostenfunktion für diesen komplexeren Fall zu sehen:

komplexe-kostenfunktion-mit-grenzkosten

Für alle weiteren Überlegungen gehen wir von dieser, also der nichtlinearen Kostenfunktion aus.

Die Erlös- bzw. Ertragsfunktion

Um den Gesamterlös aus dem Verkauf des Produktes zu berechnen, wird der Verkaufspreis mit der Menge der verkauften Produkte multipliziert. Ist die Marktform ein Polypol, ist also der Verkaufspreis konstakt, ergibt sich also \(E(x)=p \cdot {x}\). Beim Monopol, wo die absetzbare Menge vom Verkaufspreis abhängt, wird dieser Zusammenhang über die Preis-Absatz-Funktion hergestellt. In unserem Beispiel gilt also:

\(E(x)=p(x) \cdot {x} \\ \\ E(x)=\left( -\frac{10}{7}x+20 \right) \cdot {x} \\ \\ E(x)=-\frac{10}{7}x^2+20x\)

Analog zu den Grenzkosten erhält man auch den Grenzerlös, also den Erlösanstieg pro verkaufter ME des Produkts, durch Ableiten der Erlösfunktion. Der Erlös hat sein Maximum dort, wo der Grenzerlös seine Nullstelle hat. Die Grenzerlösfunktion lautet:

\(E'(x)=-\frac{20}{7}x+20\)
erloesfunktion-mit-grenzertrag

Die Gewinnfunktion

Am interessantesten für den Betrieb ist der zu erzielende Gewinn. Dieser ergibt sich als Differenz aus dem Erlös und den Kosten, also:

\(G(x)=E(x)-K(x) \\ \\ =-\frac{10}{7}x^2+20x- \left( \frac{1}{24}x^3-\frac{5}{8}x^2+\frac{49}{12}x+50 \right) \\ \\ =-\frac{1}{24}x^3-\frac{45}{56}x^2+\frac{191}{12}x-50\)
gewinnfunktion

Den von der grau markierten Fläche überspannten Bereich nennt man Gewinnzone. Die linke Nullstelle nennt man Break-Even-Point (Gewinnschwelle). Das ist die Absatzmenge, bei der der Betrieb beginnt, Gewinn einzufahren. Die rechte Nullstelle nennt man Gewinngrenze. Außerhalb der beiden Nullstellen sind die Kosten größer als der Erlös, der Gewinn ist damit negativ, also ein Verlust.

Der cournotsche Punkt

Als cournotschen Punkt bezeichnet man den Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion, der dem maximalen Gewinn des Unternehmens entspricht. Seine x-Koordinate ist damit identisch mit der x-Koordinate des Hochpunkts der Gewinnfunktion. Um den y-Wert des Punkts zu berechnen, setzt man den x-Wert in die Preis-Absatz-Funktion ein. In unserem Beispiel ergibt sich für diesen Punkt \(C( \sim 6,56| \sim 10,63)\). Folgende Grafik soll die Lage des Punkts verdeutlichen:

cournotscher-punkt

Quellen

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